约翰是个上班族，他和女朋友约好在离⼤桥头捷运站约500米的地⽅⾒⾯。早上醒来发现⾃⼰睡过头，急忙赶往捷运站。下捷运之后，为了多节省⼀些时间，约翰决定不靠右侧慢慢搭电扶梯，⽽是从电扶梯左侧的走道跑上去。由于⼤桥头捷运站的电扶梯很长，约翰走出捷运站时就有点喘了，原本想要⼀路跑到⽬的地的他，因气喘如⽜，跑跑停停的结果，最终还是迟到了，女朋友也⼗分⽣气。
约翰看似尽了全⼒，连在电扶梯上都⽤奔跑的⽅式想要节省时间，但结果却仍是未能尽如⼈意，如此⼀来，“在电扶梯上跑或走”到底能否产⽣我们所预期的效益？还是其实在电扶梯上⾏走，根本是⼀件没有效益的事情?是的，在电扶梯上⾏走，确实没有效益。
在回答这个问题之前，我们必须要先定义什么是没效益呢？
本⽂的没效益，就是无法达到最省体⼒的⽅式。
举个例⼦，约翰要在固定的时间内，走完相同距离的平地与电扶梯。改变他在平地与电扶梯的速度，比较体⼒的消耗量（耗能）。如果在电扶梯以较快的速度⾏走，消耗的体⼒较⼩，代表在电扶梯⾏走较有效益，反之则没效益。
为了证明“在⼿扶梯上⾏走没效益”，我制作了上图的模拟情境。接着，我要求出“⼈⾏走的耗能函数”（这边的耗能为消耗体⼒的量）。计算在固定时间内，当耗能最⼩时，约翰在平地与电扶梯⾏走的速度值。比较约翰要在平地还是电扶梯上已较快的速度⾏走，才会有耗能最⼩。这样就可以看出看电扶梯上⾏走是否有效益。
这个公式怎么⽤呢？以灯泡作为例⼦。⼀个功率100Ｗ的灯泡，使⽤20秒，他的耗能就是2000焦耳。
同样的道理，只要知道⼈⾏走的功率函数 ，就能透过“耗能=功率 时间”算出耗能。⽽⼈在平地⾏走的功率函数⼤致呈指数函数(原因请看结尾)，为了简化推导的过程，这边就⽤ 代替。
在知道了⼈在平地⾏走的功率函数后，让我们开始推导模拟情境的耗能函数吧。不过推导过程有些复杂，让我们先从约翰平地与电扶梯的耗能函数开始推导吧。