线性代数（Linear Algebra）-CSDN博客
- 第一章 线性方程组
- 1.1 线性方程组
- 若 b1b2…bnb_1 b_2 \dots b_nb1b2…bn 全为0，则方程组称为齐次方程组；否则为非齐次方程组
- 1.2 行化简和阶梯形矩阵
- 阶梯型矩阵与矩阵的行最简
- 行最简需要在阶梯型矩阵的基础上，将非零首元化成1，并将非零首元所在列的其他元化成0
- 第二章 矩阵与向量
- 2.2 矩阵的代数运算
- 同型矩阵的对应元素都相等，则A=BA=BA=B
- 同型矩阵对应位置元素相加得到矩阵C=A+BC=A+BC=A+B
- 数λ\lambda λ与矩阵AAA的乘积，结果为所有元素都乘以λ
- 矩阵的加法矩阵的数乘运算统称为矩阵的线性运算，具有八大运算性质
- 如果B=∑λiAiB=\sum \lambda_i A_iB=∑λiAi则称B为矩阵A1,A2...AnA_1, A_2...A_nA1,A2...An的线性组合或B可由A1,A2...AnA_1, A_2...A_nA1,A2...An线性表出
- 则线性方程组AX=bAX=bAX=b可以看成是矩阵A列向量的线性组合
- 矩阵的乘法
- ABABAB不一定等于BABABA，若相等则称矩阵AB可交换
- 2.3 逆矩阵与矩阵的初等变换
- 初等变换
- 对矩阵A进行某一行的初等列或行变换，等价于对A左（右）乘一个相应 的初等矩阵
- 若矩阵AB=BA=E ,则A,B可逆，并互为逆矩阵
- inv(AB)=inv(B)*inv(A),推广到若干可逆阵的乘积，则有 可逆阵的乘积仍然是可逆矩阵
- 逆矩阵的求法
- 矩阵变换法
- （A|E）将对增广矩阵（A|E）只做初等行变换，将A化成E，E就化成了A的逆
- 矩阵方程 AX=B
- 将增广矩阵（A|B）只做初等行变换，将A换成E，B就化成了A的逆与B的乘积，也就是X
- 2.4 转置矩阵与一些重要方阵
- 矩阵的转置
- (AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT
- 重要方阵
- 正交矩阵
- 若A，B均为正交矩阵，则乘积AB也是正交矩阵，但A+B不一定再是正交矩阵
- 第三章·行列式
- 3.1 方阵的行列式
- 任意一个n阶方阵的行列式记为det(A)，或|A|，若det(A)非零，则矩阵A可逆
- 3.2 行列式的性质
- 行列式与一个非零常数k相乘，其结果是某行或某列乘以k
注意与矩阵区分开，矩阵与常数相乘的结果是矩阵的所有元素都乘以k
- 行列式的某行（列）的k倍加到另外一个行（列）上，行列式的值不变
- 3.3 行列式的应用
- 行列式与逆矩阵的关系
- 矩阵可逆的充要条件是矩阵的行列式非零 证明方法很多
- 伴随矩阵
- 每个元素a(i,j)对应的代数余子式Aij，将这些代数余子式取代原矩阵A中的元素a(i,j)，对结果矩阵再取转置，结果即为矩阵A的伴随矩阵A*
- 特殊行列式求值问题
- 主对角线全为a，主对角线之上为b，主对角线之下为c
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- 矩阵与矩阵和的行列式 行列式加法运算
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- 第四章·向量空间
- 4.2 线性相关与线性无关
- 线性组合
- 任意实数k1k2…knk_1 k_2 \dots k_nk1k2…kn与 α1α2…αn\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_nα1α2…αn表示向量β
- 线性方程组有解，等价于其常数项列向量是系数列向量的线性组合
- 线性相关性
- 线性相关
- 存在不全为0的实数k1k2…knk_1 k_2 \dots k_nk1k2…kn，使得k1α1+k2α2+⋯+knαnk_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_nk1α1+k2α2+⋯+knαn
- 线性无关
- 方程k1α1+k2α2+⋯+knαnk_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\dots+k_n\alpha_nk1α1+k2α2+⋯+knαn只有零解
- n个n维列向量线性相关等价于n行列式det(α1 α2 α3...αn)=0
- 向量组等价
- 向量组（α1α2…αn\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_nα1α2…αn）与（β1β2…βn\beta_1 \beta_2 \dots \beta_nβ1β2…βn）可以相互线性表示出，则两向量组等价
- 向量组线性无关，增加一个向量β后线性相关，则向量β可由之前的向量组的线性表出
- 向量组线性无关，则部分组无关；若部分组相关，则向量组相关
- 向量组的个数比向量的分量数目多，则向量组必定线性相关
- 4.3 向量的极大线性无关组和秩
- 向量的秩
- 若向量组α1α2…αn\alpha_1 \alpha_2 \dots \alpha_nα1α2…αn和向量组β1β2…βn\beta_1 \beta_2 \dots \beta_nβ1β2…βn则称两向量组等价
- α1，α2,α3...αn能由β1，β2，β3...βn表示出的充要条件时r（β1，β2，β3...βn，α1，α2,α3...αn）=r(β1，β2，β3...βn)
- 线性无关组
- 等价于向量组S的部分组α1,α2,...,αr线性无关，S中的任意一个向量都可以由α1,α2,...,αr线性表示出，则α1,α2,...,αr时S的一个极大无关组
- 如果线性无关向量组①可以由向量组2表示，则向量组2的个数不少于向量组1的个数
- 如果向量组1可以由向量组2线性表出，则向量组2的秩不小于向量组1
- 4.4 子空间
- 子空间
- 如果α1，α2...αn∈H，则由α1，α2...αn所有可能的线性组合构成的集合span{α1，α2...αn}={k1α1，k2α2...knαn}也是Rn的子空间，并称该子空间为由α1，α2...αn生成（张成）的子空间
- 列空间ColA
- 如果A是m x n的矩阵，A的列空间ColA是A的列向量的所有可能的线性组合构成的集合
- 零空间NulA
- 该空间是齐次线性方程组Ax=0的所有解的向量构成的集合
- A的零空间是指在矩阵A的映射作用下，像为零的原像的全体所狗策划给你的集合，原像空间Nul A
- 4.5 基和维数
- ColA和NulA的基
- 对于ColA，化A矩阵为阶梯型矩阵，主元列对应的列向量即为ColA的基
- 对于NulA，化A矩阵为阶梯型矩阵，将基本变量用随机变量表示，并把解集X写成向量的形式
- 维数
- Rn的非零子空间H的维数dimH定义为H的任一组基中所含向量的个数。并规定零空间{0}的维数是0
- 易知NulA的维数是Ax=0中自由变量的个数，ColA的维数是Ax=0中主元列数的个数
- 维数与向量的秩的关系
- dim span{α1，α2...αn}=r({α1，α2...αn})
- 坐标系统
- 对于一个子空间的任意一组基，可用用该组基去表示该向量空间中的任意一个向量，即对于任意x向量∈H，总存在c1,c2,c3,...,cn，使得x=c1β1+c2β2+c3β3+...+cnβn。称系数c1,c2,c3,...,cn为x相对于基B的坐标，即为（c1,c2,c3,...,cn）T
- 过渡矩阵
- 对于Rn的子空间H，子空间的两组基{η1，η2，...，ηn}（Ⅰ），{ε1，ε2，...，εn}（Ⅱ），那么两组基可以互相表示。例如用基（Ⅱ）表示基（Ⅰ）：η1=a11ε1+...+an1εn，...，ηn=an1ε1+...+annεn。其中系数矩阵A称为由基（Ⅱ）到基（Ⅰ）的过渡矩阵。且A的第j列是ηj在基(Ⅰ)下的坐标
- 4.6 矩阵的秩
- A初等行变换化为B，则A与B有相同的行空间，如果B是行阶梯形矩阵，则B的非零行构成A的行空间的一组基。
- 矩阵与伴随矩阵秩的关系
- 常见矩阵秩的等式与不等式
- 4.7 线性方程组的解的结构
- 齐次线性方程组
- 通解为k1X1+k2X2+...knXn k1,k2...kn为实数
- 对于一个系数矩阵AAA mXn, rank（A）=r, 则有n-r个基础解系
- 第五章·特征值和特征向量
- 5.1 矩阵的特征值和特征向量
- 定义
- 矩阵A为方阵，存在复数λ于非零列向量X，使等式AX＝λX，则λ是矩阵A的一个特征值，X是一个对应于特征值λ的特征向量。
- 等式变形，齐次线性方程组(A-λE)X=0有非零解，即系数行列式为0
- 特征向量与特征值的关系
- 特征值是有限的，但特征向量是无限的，即若X为一个特征向量，则kX也为特征向量
- 一个特征值对应无数个线性无关的特征向量，但一个特征向量对应一个特征值
- 特征值的性质
- λ1，λ2，λ3，...，λn是特征值，则Σλ=Σaii,并记作矩阵的迹，tra(A) 且 Πλ=det(A)
- 盖尔圆盘定理
- 一个矩阵严格按行对角占优（对角元素的绝对值大于所在行其余所有元素的绝对值之和），则该矩阵可逆
- 5.2 矩阵的相似对角化
- 定义
- 对于n阶矩阵A，B，若存在可逆矩阵P使inv(P)AP=B，则A与B相似
- 矩阵相似的性质
- tr(A)=tr(B)，即特征值的和相同，对角线元素和相同
- 矩阵与一个对角型矩阵相似，则称之为相似对角化
- 矩阵A与对角阵相似，充要条件是A有n个线性无关的特征向量。充分条件不必要条件是有n个互异的特征值
- 步骤
- 求出所有特征根对应的特征向量X1 X2 X3...Xn
- 判断特征向量个数是否等于n。若等于则可对角化，否则不可以
- 则可逆矩阵P以特征向量为列向量的矩阵(X1 X2 X3...Xn)，对应的对角阵的元素为特征根
- 注意：对角阵元素的摆放顺序应该与矩阵P中特征向量的摆放顺序一致。矩阵P和对角阵都不唯一
- 5.3 实对称矩阵的正交相似对角化
- 向量的内积，两同维度的向量，所有对应分量的乘积和即向量的内积，记为(α，β)
- 向量的长度，模，范数||α||=√(α，α)，其物理意义为当前向量空间下与原点的距离
- 如果一个向量组不含零向量，则两两正交，则称该向量组为一个正交组。由单位向量构成的正交组称为规范正交组
- 正交相似
- 定义 如果存在一个正交矩阵P，使$$=B，则称A，B正交相似
- 常见题型
- 给定实对称矩阵A，求正交矩阵Q和对角阵B满足inv(Q)AQ=B
- 第六章·二次型及其矩阵表示
- 6.1 二次型及其矩阵表示
- 二次型f(x1,x2,x3...,xn)的矩阵表示
- 矩阵的合同
- 如果存在可逆矩阵P，使得矩阵B=P'AP，则矩阵A与B合同，或A合同与B
- 如果矩阵AB合同，则矩阵AB的秩相同 。矩阵乘以一个可逆阵，秩不变
- 矩阵关系汇总
- 矩阵的正交相似 存在正交阵P，使PTAPP^TAPPTAP=B
- 四种关系
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- 6.2二次型转标准型
- 标准型即没有交叉项，只有平方项，其对应的二次型矩阵只是一个对角阵
- 线性替换
从一个既有交叉项又有平方项的二次型转化为简单的标准二次型的过程即成为线性替换
- 二次型的矩阵表示f(x1,x2,...,xn)=X'AX，令X=CY，则f=Y'C'ACY,其中B=C’AC矩阵即为标准型对应的矩阵
- 三种方法
- 配方法
- 最后写出线性替换，y1=a1x1+a2x2+a3x3, y2=a1x1+a2x2+a3x3, y2=a1x1+a2x2+a3x3,即Y=CX，最后转化为X=BY，B即为线性替换矩阵f
- 例题
- 特殊情况，只有交叉项的二次型
- 做线性可逆变换x1=y1-y2; x2=y1+y2; x3=y3 x4=y4
- 初等变换法 合同变化法
- 将矩阵A和单位阵E竖向排列。当把A化为对角阵时，单位阵E即变为矩阵C
- 变换规则
- 每做一次初等列变换,做一次对应的行变换,即每一次变换的结果上边的矩阵还是对称阵
- 正交变换法
- 求特征向量,然后正交化,单位化。但注意实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交。
- 6.3正定二次型
- 二次型的标准型是不唯一的，但标准型所含的非零项是相同的，且正负项的个数不变
- 对于任意一个二次型f(X)，都可以化简成标准二次型f(X)=z1^2+z2^2+...+zs^2-...-zs+t^2，其中s+t=R(A)，形如该二次型的称为规范型形，s称为正惯性指标，t称为负惯性指标
- 惯性定理
- 任意一个实二次型总可以替换成规范形矩阵，且规范形唯一，即正负惯性指标是两个不变量
- 对于实二次型f(X)=X'AX，如果对任意的X不为0向量
- 如果f(X)恒大于0，叫做正定二次型，对应的矩阵A称为正定矩阵
- 如果f(X)恒小于0，叫做负定二次型，对应的矩阵A称为负定矩阵
- 正定二次型的判别
- 方法
- 标准型法 充要
- f(X)=a1x1^2+...+anxn^2,a1到an都是正数
- 顺序主子式法 重要
- 注意 仅限于A为实对称阵
- 推论
- 如果矩阵A是正定矩阵，A与单位阵合同，即存在可逆阵C，使CTACC^TACCTAC=E
- 易错题
- 范德蒙德形式
