从标量到向量

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——一阶微分方程组初值问题的标准形式

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n阶微分方程与特定一阶微分方程组的等价性

对显式n阶方程

作变量变换:

其中后n- 1个等式与原方程:

组成了一个n元一阶微分方程组

线性微分方程组的一般概念

标准形式

其中
为系数矩阵，“.”为n阶方阵与n维向量乘法

特例:等价于n阶线性方程时的情况

和讨论高阶线性方程时的定义-一样

  • :齐次线性方程组;
  • :非齐次线性方程组.

线性微分方程组解的一般理论

类比单个高阶线性方程的情形，尤其是:

  • 线性无关性;
  • 朗斯基行列式;
  • 通解结构定理;

常系数线性微分方程组的解法(

)

1,齐次情形(

)

与标量方程情形类似，把求解问题转化为求特征结构问题。设

其中

为待定的
常数向量。

代入原方程。

并约去

后得到一个
矩阵特征值问题:

求解常系数齐次线性微分方程组

如特征根

为单根。。

它对应的特征向量记为

，则原微分方程组的一个解为

1.如

的特征根都是单根。。。

记为

它们分别对应、且互相线性无关的n个不同的

解

构成一个
基本解组。即原一阶线性方程组的通解为

2.如特征根为复数单根:

复数根必成对出现(互为共轭)，对应特征向量也互为共轭

因此，求出一组特征根/特征向量即可。

3. 如特征根为重根:有点复杂

k重特征根

对应k个线性无关的基本解，形式为:

其中

是
对应的k个广义特征向量(它们之间线性无关)。而

怎么求广义特征向量? ?

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3.3非齐次常系数线性微分方程组的解法(

)

要解

先解出对应齐次方程组

的通解

，构造基本解矩阵
。

然后作常数变易

设非齐次方程组的解

代入原非齐次方程后可得关于新未知向量函数

的微分方程组

解这个以

为未知量的矩阵方程并作不定积分后即得通解，利用定解(初值)条件可得特解

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