等式条件没出现，均值可以用两遍。
今天讲一下在基本不等式中涉及的多次均值问题。通常在解决含有等式条件的基本不等式时，由于受到条件制约往往仅能使用一次均值。不过当遇到类似于这种结构的题型时，由于不存在等式条件的制约，因而可以尝试使用多次均值。
先看这道例题，虽然这个分式的结构比较复杂，不过a方加四b方却在分子中以整体身份多次出现。如果对其使用基本不等式结合，a b 大于零就能得到a方加四b方大于等于四a b，且仅当a等于二b时等号成立，原式就大于等于四a b加一分之四a b 的平方加八a b加五。
处理这种分式一般选择分离常数的办法，先对分子进行配方得到四a b加一的平方加四，再分离成数就得到四a b加一加四a b加一分之四，这样就能对结果直接使用基本不等式得到二者的和大于等于四，且仅当a乘b等于四分之一时等号成立。
由于本题中使用过两次均值就要验证一下两次均值的取等条件是否冲突，将两次均值的取等条件进行连例。由于a b 大于零同号得到a等于正负二分之根号二，b等于正负四分之根号二。因为存在a b 的值使得两个取等条件同时成立，所以原式最小值等于四。
再看第二题，已知x大于二分之一，y大于一不等式大于等于m横成立，求m的最大值。由于本题是横成立问题，因此m的最大值即为左边代数式的最小值。先对左边代数式分子部分进行整理，将四x平方转化为二x整体的平方，此时恰好可以利用全方和不等式得到原式大于等于二x加y减二分之二x加y的平方，且仅当二x比y减一等于y比二x减一时等号成立。
下一步对取等条件进行化解结合，x与y的范围二x减二分之一与y减二分之一均为正数，再次化解就得到二x等于y。由于在分式中二x加y减二可以看作一个整体，通过换圆令其为t，原式就转化为t分之t加二的平方，其中t大于零，此时可以直接利用基本不等式t加二大于等于二倍根号下，二t化解之后原式大于等于八，且仅当二x加y等于四十等号成立，对二x等于y。与2x+y等于4进行连例就能得到当且仅当x等于1，y等于2时，两个曲等条件均能满足。
综上所述，原式最小值等于8，所以m的最大值为8。