举例求解矩阵的特征值和特征向量
（先明确：只有方阵才能求出特征值，非方阵只能求奇异值。）
直接举一个例子：求下面矩阵M的特征值和特征向量。
M = [ 4 6 0 − 3 − 5 0 − 3 − 6 1 ] M =\begin{bmatrix} 4 & 6 & 0 \\ -3 & -5 & 0 \\ -3 & -6 & 1 \end{bmatrix} M=⎣⎡4−3−36−5−6001⎦⎤
设矩阵M的特征值为 λ \lambda λ,列出矩阵M的特征方程：矩阵M减去， λ \lambda λ乘以和M同等大小的单位矩阵E。再让它们整体的行列式的值等于0即可。如下所示：
∣ M − λ E ∣ = 0 (1) |M - \lambda E| = 0\tag{1} ∣M−λE∣=0(1)
求解(1)式的步骤如下：
∣ M − λ E ∣ = [ 4 − λ 6 0 − 3 − 5 − λ 0 − 3 − 6 1 − λ ] = ( 1 − λ ) [ 4 − λ 6 − 3 − 5 − λ ] = ( λ − 1 ) 2 ( λ + 2 ) |M - \lambda E| = \begin{bmatrix} 4-\lambda & 6 & 0 \\ -3 & -5-\lambda & 0 \\ -3 & -6 & 1-\lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda) \begin{bmatrix} 4-\lambda & 6 \\ -3 & -5-\lambda \end{bmatrix} = (\lambda -1)^{2}(\lambda + 2) ∣M−λE∣=⎣⎡4−λ−3−36−5−λ−6001−λ⎦⎤=(1−λ)[4−λ−36−5−λ]=(λ−1)2(λ+2)
所以特征值为1和-2，重数是1。
然后，把每个特征值 λ \lambda λ带入到下方的线性方程组 ( M − λ E ) x = 0 (M - \lambda E)x = 0 (M−λE)x=0，求出特征向量。
当 λ 1 = − 2 \lambda_{1}=-2 λ1=−2时，解线性方程组： ( M − ( − 2 ) E ) x = 0 (M - (-2)E)x = 0 (M−(−2)E)x=0。
∣ M + 2 E ∣ = [ 6 6 0 − 3 − 3 0 − 3 − 6 3 ] ⇒ 先 变 成 增 广 矩 阵 [ 6 6 0 0 − 3 − 3 0 0 − 3 − 6 3 0 ] ⇒ 再 初 等 行 变 换 [ 1 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 1 0 ] |M + 2E| = \begin{bmatrix} 6 &a